Marko Vešović rođen je u Podgorici, a nogomet je počeo igrati u klubu Mladost Lučani. Afirmaciju je stekao u prvoligašu Budućnost gdje je i upisao prve seniorske nastupe u sezoni 2008./09. Dobre igre nisu prošle nezapaženo i Vešović je 2010. godine prešao u redove Crvene zvezde gdje je ostao do 2014. godine i skupio 84 nastupa, te osvojio Kup Srbije. Odličnim igrama privukao je pažnju talijanskog prvoligaša Torina.

Vešović je 18. travnja postigao pobjednički pogodak protiv Hajduka na Poljudu, a prije 25 godina njegov otac Rade također je zatresao mrežu u Splitu

U Serie A skupio je tri nastupa prije dolaska u Rijeku na posudbu. Nakon što je igrao za mladu reprezentaciju Crne Gore, Vešović je debitirao i u seniorskoj izabranoj vrsti 15. listopada protiv Moldavije u kvalifikacijama za Svjetsko prvenstvo 2014. godine.

Zanimljiv je podatak da je Marko Vešović  18. travnja 2015. postigao pobjednički pogodak protiv Hajduka na Poljudu, a prije 25 godina njegov otac Rade također je zatresao mrežu u Splitu. Isto je ponovio godinu dana kasnije kada je ponovo zatresao mrežu na Poljudu u novoj pobjedi Rijeke (2:1).